多边形的内角和公式推导过程(多边形内角和推导方法及公式)

多边形内角和定理证明

证法一:

在n边形内任取一点O,连结O与各个顶点,把n边形分成n个三角形.

因为这n个三角形的内角的和等于n·180°,以O为公共顶点的n个角的和是360°

所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=(n-2)·180°.

即n边形的内角和等于(n-2)×180°.

证法二:

连结多边形的任一顶点A1与其他各个顶点的线段,把n边形分成(n-2)个三角形.

因为这(n-2)个三角形的内角和都等于(n-2)·180°

所以n边形的内角和是(n-2)×180°.

证法三:

在n边形的任意一边上任取一点P,连结P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成(n-1)个三角形,

这(n-1)个三角形的内角和等于(n-1)·180°

以P为公共顶点的(n-1)个角的和是180°

所以n边形的内角和是(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°

多边形外角和证明

在多边形中每一个内角和与之相邻的外角都构成一个平角(180°),

那么:

n边形内角和+n边形外角和=n×180°

又∵多边形的内角和=(n-2)×180°

∴.n边形外角和= n×180°-(n-2)×180°

=360°

由此可见:任意多边形的外角之和都为360°

如三角形的外角和为360°、四边形的外角和也为360°,

即n边形的外角和与它的边的条数无关。

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