最透彻的红黑树详解(图文并茂,一文全解)

前言

  刚开始接触红黑树的时候,感觉很难。其实不然,红黑树只是情况分的多了一点而已,相较于线段树,主席树等等,简单多了。对于红黑树3种插入维护4种删除维护没必要去记忆,稍作了解,对于红黑树的性质和特点,需要特别记忆。

注意,本文图中红黑树的叶子结点默认不画出来~

为什么要有红黑树

二叉搜索树

  二叉搜索树(又叫二叉排序树,BST):对于任意一个结点,其左子树的值必定小于该结点,其右子树的值必定大于该结点。那么中序遍历的时候,就是有序的了。理论上来说,增加,删除,修改的时间复杂度都是O(log(N))。但是它存在一个致命的问题。

  退化:向树中插入[1,2,3,4,5,6],此时树退化成了一个链表,增加,删除,修改的时间复杂度退化为O(N)

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平衡二叉搜索树

  平衡二叉搜索树(AVL Tree):它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉搜索树。如果向树中插入[1,2,3,4,5,6]

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可以看到AVLTree在最坏的情况下,依然保持了“绝对的平衡”:左右两个子树的高度差的绝对值不超过1。那么AVL Tree是如何保证平衡的呢,是通过旋转,可以看到,无论是插入还是删除元素,都要去通过旋转维护整个树的平衡。

  • AVL查询元素:O(log(N))
  • AVL插入元素:最多一次旋转O(1),加上查询的时间O(log(N)),插入的复杂度O(log(N))
  • AVL删除元素:必须检查从删除结点开始到根结点路径上的所有结点的平衡因子。因此删除的代价比较大,删除最多需要log(N)次旋转,加上查询的时间,删除的复杂度O(2log(N))

红黑树

  我们发现,AVL树未免太严格了一些,有没有一种数据结构,能让AVL树不那么严格平衡,降低维护平衡的开销,同时又不能像BST一样退化呢?

当然有,就是本文所写的红黑树(rbTree):

  • rbTree查询元素:O(log(N))
  • rbTree插入元素:插入最多2次旋转,加上查询的时间O(log(N)),插入的复杂度O(log(N))
  • rbTree删除元素:删除最多需要3次旋转,加上查询的时间,删除的复杂度O(log(N))

  虽然插入和删除元素后,需要旋转和变色(本文中统一为维护),但是这一时间复杂度可以估算为O(1)不计

  因为rbTree的第6条性质(见下文)

  • 所以红黑树的查询效率略低与AVL的查询
  • 红黑树和AVL插入的速度差不多
  • 红黑树删除的速度比AVL快,因为AVL删除最多需要og(N)次旋转

红黑树的应用场景

  1. c++ stl map,set(红黑树的封装)
  2. 进程调度cfs(用红黑树存储进程的集合,把调度的时间作为key,那么树的左下角时间就是最小的)
  3. 内存管理(每次使用malloc的时候都会分配一块小内存出来,那么这么块就是用红黑树来存,如何表述一段内存块呢,用开始地址+长度来表示,所以key->开始地址,val->大小)
  4. epoll中使用红黑树管理socketfd
  5. nginx中使用红黑树管理定时器,中序遍历第一个就是最小的定时器

红黑树的性质(重点)

  1. 每个结点是红的或者黑的
  2. 根结点是黑的
  3. 每个叶子结点是黑的(因为这条性质,一般用叶子结点在代码中被特殊表示)
  4. 如果一个结点是红的,则它的两个儿子都是黑的(不存在相邻红色)
  5. 从任一节点到叶子节点,所包含的黑色节点数目相同(即黑高度相同)
  6. 最长路径长度不超过最短路径长度的2倍(2n-1,一条黑红黑红…一条全黑)

红黑树的定义

#define RED 0
#define BlACK 1

typedef int KEY_TYPE;

typedef struct _rbtree_node {
    unsigned char color;//颜色
    struct _rbtree_node *left;//左子树
    struct _rbtree_node *right;//右子树
    struct _rbtree_node *parent;//父结点
    KEY_TYPE key;
    void *value;

} rbtree_node;//红黑树结点

typedef struct _rbtree {
    rbtree_node *root;//根结点
    rbtree_node *nil;//通用叶子结点
} rbtree;//红黑树

红黑树的左旋与右旋

动三个方向,改6个指针。 通过旋转,调整左右高度,使树达到平衡。

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左旋leftRotate(T,x)—中右->左中

降低X结点的高度,提高X结点右结点(即Y)的高度。

  1. x的右子树指向y的左子树
  2. 本来指向x结点的父指针,改成指向y
  3. y的左子树指向x结点
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右旋rightRotate(T,y)—中左->中右

降低Y结点的高度,提高Y结点左结点(即X)的高度。

  1. y的左子树指向x的右子树
  2. 本来指向y结点的父指针,改成指向x
  3. x的右子树指向y结点
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//左旋leftRotate(T,x)---中右->左中
//降低X结点的高度,提高X结点右结点(即Y)的高度。
void _left_rotate(rbtree *T, rbtree_node *x) {
    rbtree_node *y = x->right;
    //1
    x->right = y->left;//x的右子树指向y的左子树
    if (y->left != T->nil) {
        y->left->parent = x;//y的左子树的父节点指向x
    }
    //2
    y->parent = x->parent;//y的父结点指向x的父结点
    if (x->parent == T->nil) {//如果x是根结点
        T->root = y;
    } else if (x == x->parent->left) {
        x->parent->left = y;//本来指向x结点的父指针,改成指向y
    } else {
        x->parent->right = y;
    }
    //3
    y->left = x;//y的左子树指向x结点
    x->parent = y;//x的父节点指向y
}

//右旋
//copy左旋的代码
//left改成right,right改成left
//x改成y,y改成x
void _right_rotate(rbtree *T, rbtree_node *y) {
    rbtree_node *x = y->left;
    //1
    y->left = x->right;
    if (x->right != T->nil) {
        x->right->parent = y;
    }
    //2
    x->parent = y->parent;
    if (y->parent == T->nil) {
        T->root = x;
    } else if (y == y->parent->right) {
        y->parent->right = x;
    } else {
        y->parent->left = x;
    }
    //3
    x->right = y;
    y->parent = x;
}

红黑树插入结点与插入维护红黑树的三种情况

插入结点

  在插入结点时,我们始终认为“插入这个结点之前,原来的红黑树是满足红黑树性质的==”,那么插入的位置容易找,就是不断的对比key,最终找到位置,那么新增的结点是什么颜色呢?我们通过性质发现:

  • 如果新结点是黑色,违背了第5条性质
  • 如果新结点是红色,可能违背第4条性质

而第四条性质,我们可以通过旋转与上色的方式修复,所以在我们插入结点的时候,我们始终认为新结点是红色

//因为传入的key可能是字符,可能是整形,所以要提取出来
//这里可以看出,其实可以封装成一个模板
int key_compare(KEY_TYPE a, KEY_TYPE b) {
    //这里假设是int
    if (a > b) {
        return 1;
    } else if (a < b) {
        return -1;
    } else {
        return 0;
    }
}
void rbtree_insert(rbtree *T, rbtree_node *z) {
    //找位置
    rbtree_node *x = T->root;
    rbtree_node *y = T->nil;//y是x的父节点
    while (x != T->nil) {//二分找位置
        y = x;
        if (key_compare(z->key, x->key) < 0) {
            x = x->left;
        } else if (key_compare(z->key, x->key) > 0) {
            x = x->right;
        } else {
            //如果key相等,看自己的业务情景
            //重复插入可以不修改直接退出,可以修改val
            return;
        }
    }
    //插入
    z->parent = y;
    if (y == T->nil) {
        T->root = z;
    } else if (key_compare(z->key, y->key) < 0) {
        y->left = z;
    } else {
        y->right = z;
    }

    z->left = T->nil;
    z->right = T->nil;
    z->color = RED;
    //维护红黑树
    rbtree_insert_fixup(T, z);
}

插入结点后维护红黑树

  我们知道新增结点是红色,如果新结点是父节点也是红色,那么就需要维护红黑树了。

  如果父结点是爷结点是左子树,可以归纳出来三种情况。同理如果父结点是爷结点是右子树,我们也可以归纳出来三种情况。但是这三种情况的差异就是旋转方向的区别而已。一共是6种情况,但是归纳出来其实是3种,读者不要搞错了。

在下面的图中:z表示新增结点,y表示叔结点

父结点是爷结点是左子树

1. 叔结点是红色的

  • 将叔结点和父结点变黑,爷结点变红
  • 将当前结点变成爷结点(因为爷结点是红,爷结点的父节点也可能是红,所以要递归维护)
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2. 叔结点是黑色的且新结点是左子树

  • 将父结点变成黑色,爷结点变成红色
  • 以爷结点为中心右旋
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3. 叔结点是黑色的且新结点是右子树

  • 以父结点为中心左旋
  • 将父结点变黑色,爷结点变红色
  • 以爷结点为中心右旋
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父结点是爷结点是右子树

1. 叔结点是红色的

  • 将叔结点和父结点变黑,爷结点变红
  • 将当前结点变成爷结点(因为爷结点是红,爷结点的父节点也可能是红,所以要递归维护)
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2. 叔结点是黑色的且新结点是左子树

  • 以父结点为中心右旋
  • 将父结点变黑色,爷结点变红色
  • 以爷结点为中心左旋
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3. 叔结点是黑色的且新结点是右子树

  • 将父结点变成黑色,爷结点变成红色
  • 以爷结点为中心左旋
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维护代码

//修复第4条性质
void rbtree_insert_fixup(rbtree *T, rbtree_node *z) {
    while (z->parent->color == RED) {//父结点是红色的,需要调整
        if (z->parent == z->parent->parent->left) {//如果父结点是爷结点是左子树
            rbtree_node *y = z->parent->parent->right;//叔结点
            if (y->color == RED) {//叔结点是红色的
                //先变色,叔,父变黑
                z->parent->color = BLACK;
                y->color = BLACK;
                //爷结点变红
                z->parent->parent->color = RED;
                //下面的调整完了,调整上面
                z = z->parent->parent;
            } else {//叔父结点是黑色
                if (z == z->parent->right) {//新节点是在右边
                    z = z->parent;
                    rbtree_left_rotate(T, z);
                }
                z->parent->color = BLACK;
                z->parent->parent->color = RED;
                rbtree_right_rotate(T, z->parent->parent);
            }
        } else {
            // 如果父结点是爷结点是右子树
            rbtree_node *y = z->parent->parent->left;//叔父结点
            if (y->color == RED) {//叔父结点是红色的
                //先变色,叔,父变黑
                z->parent->color = BLACK;
                y->color = BLACK;
                //爷结点变红
                z->parent->parent->color = RED;
                //下面的调整完了,调整上面
                z = z->parent->parent;
            } else {//叔父结点是黑色
                if (z == z->parent->left) {//新节点是在左边
                    z = z->parent;
                    rbtree_right_rotate(T, z);
                }
                z->parent->color = BLACK;
                z->parent->parent->color = RED;
                rbtree_left_rotate(T, z->parent->parent);
            }
        }
    }
    //最后别忘了根节点始终是黑色
    T->root->color = BLACK;
}

红黑树删除结点与删除维护红黑树的四种情况

删除结点

我们定义:

  • 覆盖结点:z(被指定删除的结点,实际上被覆盖)
  • 删除结点:y(实际上被删除的结点,一般是后继结点)
  • 轴心结点:x(维护红黑树的结点)

红黑树删除结点根据改结点的左右子树分为三种情况:

  1. 没有左右子树
  2. 有且仅有一个子树
  3. 左右子树都有

对不同情况的处理:

  • 情况1:直接删除该结点
  • 情况2:将该结点的唯一子树挂到父结点上,然后删除该结点
  • 情况3:找一个删除结点y(后继结点)覆盖 指定结点z,然后删除 删除结点y,对于这个删除结点y来说,它的情况一定是情况1或情况2

删除代码

rbtree_node *rbtree_mini(rbtree *T, rbtree_node *x) {
    while (x->left != T->nil) {
        x = x->left;
    }
    return x;
}

//找后继结点
rbtree_node *rbtree_successor(rbtree *T, rbtree_node *x) {
    rbtree_node *y = x->parent;
    //右子树不为空,则找右子树中最左的元素
    if (x->right != T->nil) {
        return rbtree_mini(T, x->right);
    }
    //找到结点第一个父结点
    while ((y != T->nil) && (x == y->right)) {
        x = y;
        y = y->parent;
    }
    return y;
}

//覆盖结点z
//删除结点y
//轴心结点x
rbtree_node *rbtree_delete(rbtree *T, rbtree_node *z) {
    rbtree_node *y = T->nil;
    rbtree_node *x = T->nil;

    if ((z->left == T->nil) || (z->right == T->nil)) {
        y = z;//如果没有孩子或只有一个
    } else {//如果有两个子树则找后继
        y = rbtree_successor(T, z);
    }
    //一般x是y的右子树,找到轴心结点
    if (y->left != T->nil) {
        x = y->left;
    } else if (y->right != T->nil) {
        x = y->right;
    }
    //将该结点的唯一子树挂到父结点上,然后删除该结点
    x->parent = y->parent;
    if (y->parent == T->nil) {//根结点
        T->root = x;
    } else if (y == y->parent->left) {
        y->parent->left = x;
    } else {
        y->parent->right = x;
    }
    //进行覆盖操作
    if (y != z) {
        z->key = y->key;
        z->value = y->value;
    }
    //黑色才需要调整
    if (y->color == BLACK) {
        rbtree_delete_fixup(T, x);
    }
    return y;
}

删除结点后维护红黑树

  想一想,删除一个结点,该结点是什么颜色的时候才需要维护红黑树呢?

  • 如果是红色,没有违反任何性质。所以如果是红色直接删除即可,无需维护
  • 如果是黑色,黑色被删除,那么必定违反第5条性质,破坏了黑高,所以我们需要针对这一情况进行维护

  如果当前结点是父结点的左子树的情况,可以归纳出来四种情况。同理如果当前结点是父结点的右子树,我们也可以归纳出来四种情况。但是这四种情况的差异就是旋转方向的区别而已(镜像的)。一共是8种情况,但是归纳出来其实是4种,读者不要搞错了。

当前结点是父结点的左子树的情况

1.当前结点的兄弟结点是红色的

  • 兄弟节点变成黑色
  • 父节点变成红色
  • 父节点做左旋
  • 将兄弟结点调整为父节点的右子树
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2. 当前结点的兄弟结点是黑色的,而且兄弟结点的两个孩子结点都是黑色的

  • 兄弟节点变成红色
  • 轴心结点变为父节点
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3. 当前结点的兄弟结点是黑色的,而且兄弟结点的左孩子是红色的,右孩子是黑色的

  • 将左孩子涂黑
  • 将兄弟节点变红
  • 对兄弟节点右旋
  • 将兄弟结点调整为父节点的右子树
  • 现在情况3就会变成情况4,接着做情况4的步骤
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4. 当前结点的兄弟结点是黑色的,而且兄弟结点的左孩子是黑色的,右孩子是红色的

  • 将兄弟节点换成父节点的颜色
  • 把父节点和兄弟节点的右孩子涂黑
  • 对父节点做左旋
  • 设置x指针,指向根节点
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当前结点是父结点的右子树的情况

1. 当前结点的兄弟结点是红色的

  • 兄弟节点变成黑色
  • 父节点变成红色
  • 父节点做右旋
  • 将兄弟结点调整为父节点的左子树

2. 当前结点的兄弟结点是黑色的,而且兄弟结点的两个孩子结点都是黑色的

  • 兄弟节点变成红色
  • 轴心结点变为父节点

3. 当前结点的兄弟结点是黑色的,而且兄弟结点的左孩子是黑色的,右孩子是红色的

  • 将右孩子变黑
  • 将兄弟节点变红
  • 对兄弟结点左旋
  • 将兄弟结点调整为父节点的左子树
  • 现在情况3就会变成情况4,接着做情况4的步骤

4. 当前结点的兄弟结点是黑色的,而且兄弟结点的左孩子是红色的,右孩子是黑色的

  • 将兄弟节点换成父节点的颜色
  • 把父节点和兄弟节点的左孩子变黑
  • 对父节点做右旋
  • 将轴心结点调整为根结点

维护代码

void rbtree_delete_fixup(rbtree *T, rbtree_node *x) {
    //如果x是红色,变成黑色,如果x是黑色,需要调整
    while ((x != T->root) && (x->color == BLACK)) {
        //当前结点是父结点的左子树
        if (x == x->parent->left) {
            //兄弟节点
            rbtree_node *w = x->parent->right;
            // 情况1:兄弟节点为红色
            if (w->color == RED) {
                // 兄弟节点变成黑色
                w->color = BLACK;
                // 父节点变成红色
                x->parent->color = RED;
                // 父节点做左旋
                rbtree_left_rotate(T, x->parent);
                //将兄弟结点调整为父节点的右子树
                w = x->parent->right;
            }
            // 情况2:兄弟节点是黑色的,且兄弟的左孩子和右孩子都是黑色
            if ((w->left->color == BLACK) && (w->right->color == BLACK)) {
                // 兄弟节点变成红色
                w->color = RED;
                // 轴心结点变为父节点
                x = x->parent;
            } else {
                // 情况3:x的兄弟节点是黑色的,兄弟的左孩子是红色,右孩子是黑色
                if (w->right->color == BLACK) {
                    // 将左孩子涂黑
                    w->left->color = BLACK;
                    // 将兄弟节点变红
                    w->color = RED;
                    // 对兄弟节点右旋
                    rbtree_right_rotate(T, w);
                    // 重新设置x的兄弟节点
                    w = x->parent->right;
                }
                // 情况4:x的兄弟节点是黑色;x的兄弟节点的右孩子是红色的
                // 将兄弟节点换成父节点的颜色
                w->color = x->parent->color;
                // 把父节点和兄弟节点的右孩子涂黑
                x->parent->color = BLACK;
                w->right->color = BLACK;
                // 对父节点做左旋
                rbtree_left_rotate(T, x->parent);
                // 设置x指针,指向根节点
                x = T->root;
            }

        } else {//当前结点是父结点的右子树
            //兄弟节点
            rbtree_node *w = x->parent->left;
            //情况1:兄弟结点为红色
            if (w->color == RED) {
                // 兄弟节点变成黑色
                w->color = BLACK;
                // 父节点变成红色
                x->parent->color = RED;
                // 父节点做右旋
                rbtree_right_rotate(T, x->parent);
                //将兄弟结点调整为父节点的左子树
                w = x->parent->left;
            }
            // 情况2:兄弟节点是黑色的,且兄弟的左孩子和右孩子都是黑色
            if ((w->left->color == BLACK) && (w->right->color == BLACK)) {
                // 兄弟节点变成红色
                w->color = RED;
                // 轴心结点变为父节点
                x = x->parent;
            } else {
                // 情况3:x的兄弟结点是黑色的,兄弟的左孩子是黑色,右孩子是红色
                if (w->left->color == BLACK) {
                    //将右孩子变黑
                    w->right->color = BLACK;
                    //将兄弟节点变红
                    w->color = RED;
                    //对兄弟结点左旋
                    rbtree_left_rotate(T, w);
                    //将兄弟结点调整为父节点的左子树
                    w = x->parent->left;
                }
                // 情况4:x的兄弟结点是黑色的,兄弟的左孩子是红色,右孩子是黑色
                // 将兄弟节点换成父节点的颜色
                w->color = x->parent->color;
                // 把父节点和兄弟节点的左孩子变黑
                x->parent->color = BLACK;
                w->left->color = BLACK;
                // 对父节点做右旋
                rbtree_right_rotate(T, x->parent);
                //将轴心结点调整为根结点
                x = T->root;
            }
        }
    }
    // 继承节点变为黑色,为了弥补失去的黑高
    x->color = BLACK;
}

红黑树的遍历、查询、测试

rbtree_node *rbtree_search(rbtree *T, KEY_TYPE key) {
    rbtree_node *node = T->root;
    while (node != T->nil) {
        if (key < node->key) {
            node = node->left;
        } else if (key > node->key) {
            node = node->right;
        } else {
            return node;
        }
    }
    return T->nil;
}


void rbtree_traversal(rbtree *T, rbtree_node *node) {
    if (node != T->nil) {
        rbtree_traversal(T, node->left);
        printf("key:%d, color:%d\n", node->key, node->color);
        rbtree_traversal(T, node->right);
    }
}


int main() {
    int keyArray[20] = {24, 25, 13, 35, 23, 26, 67, 47, 38, 98, 20, 19, 17, 49, 12, 21, 9, 18, 14, 15};

    rbtree *T = (rbtree *) malloc(sizeof(rbtree));
    if (T == NULL) {
        printf("malloc failed\n");
        return -1;
    }

    T->nil = (rbtree_node *) malloc(sizeof(rbtree_node));
    T->nil->color = BLACK;
    T->root = T->nil;

    rbtree_node *node = T->nil;
    int i = 0;
    for (i = 0; i < 20; i++) {
        node = (rbtree_node *) malloc(sizeof(rbtree_node));
        node->key = keyArray[i];
        node->value = NULL;
        rbtree_insert(T, node);

    }
    rbtree_traversal(T, T->root);
    printf("----------------------------------------\n");

    for (i = 0; i < 20; i++) {
        rbtree_node *node = rbtree_search(T, keyArray[i]);
        rbtree_node *cur = rbtree_delete(T, node);
        free(cur);
        rbtree_traversal(T, T->root);
        printf("----------------------------------------\n");
    }
}
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